Naturalny system dwójkowy
Naturalny system dwójkowy (ang. NBS - Natural Binary System) jest najprostszym systemem pozycyjnym, w którym podstawa p = 2. System posiada dwie cyfry 0 i 1, zatem można je kodować bezpośrednio jednym bitem informacji.
Zapamiętaj:Wartość dziesiętna liczby zapisanej w naturalnym kodzie binarnym
bn-1bn-2...b2b1b0 = bn-12n-1 + bn-22n-2 + ... + b222 + b121 + b020 gdzie b - bit, cyfra dwójkowa 0 lub 1 |
Przykład:
Obliczyć wartość liczby dwójkowej 11100101(2).
11100101(2)
= 1 × 27
+ 1 × 26
+ 1 × 25
+ 0 × 24
+ 0 × 23
+ 1 × 22
+ 0 × 21
+ 1 × 20
11100101(2) = 1 × 128
+ 1 × 64
+ 1 × 32
+ 0 × 16
+ 0 × 8
+ 1 × 4
+ 0 × 2
+ 1 × 1
11100101(2) = 128 + 64 + 32 + 4 + 1
11100101(2) = 229(10)
Jeśli dokładnie przyjrzysz się powyższym obliczeniom, to na pewno zauważysz, iż w systemie binarnym w celu obliczenia wartości liczby wystarczy po prostu zsumować wagi pozycji, na których cyfry przyjmują wartość 1.
Przykład:
101011(2) = 25 + 23 + 21 + 20 = 32 + 8 + 2 + 1 = 43(10)
Jest to znaczne uproszczenie w stosunku do innych systemów, gdzie musimy wykonywać mnożenia cyfr przez wagi pozycji. Tutaj albo dana waga występuje w wartości liczby (cyfra 1), albo nie występuje (cyfra 0). Nie na darmo system binarny jest najprostszym systemem pozycyjnym.
Bardzo ważne dla informatyka i programisty jest nauczenie się na pamięć pierwszych szesnastu liczb binarnych:
| dziesiętnie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| dwójkowo | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
Zakres liczby dwójkowej
Określmy, jaką największą liczbę dwójkową możemy zapisać za pomocą n bitów (czyli cyfr binarnych). Największa liczba musi posiadać same cyfry 1, czyli w wartości liczby muszą uczestniczyć wszystkie wagi pozycji. Zatem:
| dla 1b mamy | 1(2) | = 1(10) |
| dla 2b mamy | 11(2) | = 2 + 1 = 3(10) |
| dla 3b mamy | 111(2) | = 4 + 2 + 1 = 7(10) |
| dla 4b mamy | 1111(2) | = 8 + 4 + 2 + 1 = 15(10) |
| ... |
Otrzymujemy kolejne liczby:
| dla 1b
mamy dla 2b mamy dla 3b mamy dla 4b mamy ... |
1 3 7 15 |
Liczby te tworzą prosty ciąg potęgowy:
| dla 1b mamy | 1 | = 21 - 1 |
| dla 2b mamy | 3 | = 22 - 1 |
| dla 3b mamy | 7 | = 23 - 1 |
| dla 4b mamy | 15 | = 24 - 1 |
| ... |
Wykładnik potęgowy liczby 2 jest równy ilości bitów, zatem dla n bitów otrzymujemy wzór:
Zapamiętaj:Zakres n bitowej liczby w naturalnym kodzie dwójkowym wynosi Z(2) = 0 ... 2n - 1 |
Przykład:
Jaką największą liczbę dziesiętną można przedstawić przy pomocy 64 bitów?
Odp.
264 - 1 = 18446744073709551616 - 1 = 18446744073709551615
Schemat Hornera dla liczb dwójkowych
Schemat Hornera pozwala obliczyć wartość liczby binarnej przy minimalnej ilości operacji arytmetycznych. W systemie binarnym schemat ten jest bardzo prosty:
| Schemat Hornera dla systemu binarnego |
|---|
| Wejście: ciąg cyfr binarnych Wyjście: W - wartość liczby reprezentowanej przez ciąg cyfr binarnych
K01:
W
|
pierwsza cyfra
Operację mnożenia 2 × W możemy zastąpić dodawaniem W + W. Dodawanie komputer wykonuje o wiele szybciej od mnożenia (jeszcze szybszą operacją jest przesunięcie bitów o jedną pozycję w lewo - taką operację wykonuje pojedynczy rozkaz procesora i jest ona szybsza od dodawania!)..
Przykład:
Obliczyć schematem Hornera wartość liczby binarnej 111010111101(2)
cyfra
1:
W = 1
cyfra
1: W
= (1 + 1) + 1 = 3
cyfra
1: W
= (3 + 3) + 1 = 7
cyfra
0: W
= (7 + 7) + 0 = 14
cyfra
1:
W = (14 + 14) + 1 = 29
cyfra
0:
W = (29 + 29) + 0 = 58
cyfra
1:
W = (58 + 58) + 1 = 117
cyfra
1:
W = (117 + 117) + 1 = 235
cyfra
1:
W = (235 + 235) + 1 = 471
cyfra
1:
W = (471 + 471) + 1 = 943
cyfra
0:
W = (943 + 943) + 0 = 1886
cyfra
1:
W = (1886 + 1886) + 1 =
3773
- koniec
Przeliczanie liczb dziesiętnych na dwójkowe
Kolejne od końca cyfry binarne zapisu liczby w systemie dwójkowym otrzymamy jako reszty z dzielenia tej liczby przez 2. Metoda ta została dokładnie opisana w rozdziale poświęconym przeliczaniu liczb dziesiętnych na zapis w innych systemach liczbowych.
| Algorytm wyznaczania cyfr zapisu dwójkowego liczby |
|---|
| Wejście: W - wartość liczby Wyjście: ciąg cyfr binarnych reprezentujących w systemie dwójkowym wartość W
K01: kolejna cyfra ← W
mod 2, W ← W
div
2 |
Przykład:
Przeliczyć na system dwójkowy liczbę 582642(10).
| 582642 div 2 = | 291321 | i reszta 0 |
| 291321 div 2 = | 145660 | i reszta 1 |
| 145660 div 2 = | 72830 | i reszta 0 |
| 72830 div 2 = | 36415 | i reszta 0 |
| 36415 div 2 = | 18207 | i reszta 1 |
| 18207 div 2 = | 9103 | i reszta 1 |
| 9103 div 2 = | 4551 | i reszta 1 |
| 4551 div 2 = | 2275 | i reszta 1 |
| 2275 div 2 = | 1137 | i reszta 1 |
| 1137 div 2 = | 568 | i reszta 1 |
| 568 div 2 = | 284 | i reszta 0 |
| 284 div 2 = | 142 | i reszta 0 |
| 142 div 2 = | 71 | i reszta 0 |
| 71 div 2 = | 35 | i reszta 1 |
| 35 div 2 = | 17 | i reszta 1 |
| 17 div 2 = | 8 | i reszta 1 |
| 8 div 2 = | 4 | i reszta 0 |
| 4 div 2 = | 2 | i reszta 0 |
| 2 div 2 = | 1 | i reszta 0 |
| 1 div 2 = | 0 | i reszta 1 - koniec, wynik odczytujemy w kierunku z dołu do góry |
582642(10) = 10001110001111110010(2)
Tutaj możesz przetestować działanie prezentowanego skryptu:
Zadanie 1 (łatwe)
Zadanie 2 (łatwe)
Zadanie 3 (dosyć łatwe)
Ile razy wzrośnie zakres n-bitowych liczb binarnych, gdy liczbę bitów zwiększymy o 1, 2, 3, 4, m bitów? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 4 (łatwe)
Zadanie 5 (łatwe)
Zadanie 6 (dosyć łatwe)
Wyznaczyć 100 cyfr ułamkowych dwójkowego rozwinięcia liczby dziesiętnej 0,8(10).
Zadanie 7 (dosyć łatwe)
Wyznacz błąd względny i bezwzględny rozwinięcia dwójkowego liczby
dziesiętnej 0,2(10)
o dokładności 10 binarnych cyfr ułamkowych.
Wróć do spisu tematów